الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية

 الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية

الدوال المثلثية هي دوال تربط بين زوايا المثلث القائم الزاوية وأطوال أضلاعه. هناك ست دوال مثلثية رئيسية، وهي:

الجتا (sin): هي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية إلى الوتر.

الظل (cos): هي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية إلى الوتر.

القاطع (tan): هي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور للزاوية.

القاطع العكس (cot): هي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية إلى الضلع المقابل للزاوية.

الجيب التمام (csc): هي النسبة بين الوتر إلى الضلع المقابل للزاوية.

جيب التمام العكس (sec): هي النسبة بين الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية.

يتم تعريف هذه الدوال المثلثية في المثلث القائم الزاوية كما يلي:

الجتا:

sin θ = pposite / hypotenuse

الظل:

cos θ = adjacent / hypotenuse

القاطع:

tan θ = pposite / adjacent

القاطع العكس:

cot θ = adjacent / pposite

الجيب التمام:

csc θ = hypotenuse / pposite

جيب التمام العكس:

sec θ = hypotenuse / adjacent

حيث:

θ هي الزاوية الحادة في المثلث القائم الزاوية.

pposite هو الضلع المقابل للزاوية θ.

adjacent هو الضلع المجاور للزاوية θ.

hypotenuse هو الوتر.

يمكن استخدام الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية لحل مجموعة متنوعة من المسائل، مثل:

إيجاد طول ضلع مجهول في المثلث.

إيجاد زاوية مجهولة في المثلث.

إيجاد مساحة المثلث.

فيما يلي بعض الأمثلة على استخدام الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية:

مثال 1:

في المثلث القائم الزاوية ABC أدناه، الزاوية C هي الزاوية القائمة، و BC = 3 وحدات، و AC = 4 وحدات. احسب طول AB.

sin C = pposite / hypotenuse = BC / AB = 3 / AB

AB = 3 / sin C = 3 / (3 / 5) = 5

مثال 2:

في المثلث القائم الزاوية DEF أدناه، الزاوية E هي الزاوية القائمة، و DF = 5 وحدات، و DE = 3 وحدات. احسب قيمة θ.

cos θ = adjacent / hypotenuse = DE / DF = 3 / 5

θ = cos^-1 (3 / 5) = 30.96°

مثال 3:

في المثلث القائم الزاوية GHI أدناه، الزاوية I هي الزاوية القائمة، و HJ = 10 وحدات، و HI = 6 وحدات. احسب مساحة المثلث.

مساحة المثلث = (1 / 2) × pposite × adjacent = (1 / 2) × HJ × HI = (1 / 2) × 10 × 6 = 30

الدوال المثلثية هي أداة مفيدة للغاية في حل مسائل المثلثات القائمة الزاوية. يمكن استخدامها لحل مجموعة متنوعة من المسائل، بما في ذلك إيجاد طول ضلع مجهول في المثلث، أو إيجاد زاوية مجهولة في المثلث، أو إيجاد مساحة المثلث.