البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي

 البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي

مبدأ الاستقراء الرياضي هو أحد أنواع البرهان الرياضي التي تستخدم عادةً لبرهنة أنّ معادلة أو متباينة ما صحيحة لمجموعة لانهائية من الأعداد، كالأعداد الصحيحة.

خطوات البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي:

الحالة الابتدائية: إثبات صحة القضية P(n) عندما n = n0، حيث n0 هو عدد طبيعي معين.

الخطوة الاستقرائية: إثبات أنّ القضية P(n) صحيحة إذا كانت صحيحة بالنسبة لـ n = k، فإنّها صحيحة أيضًا بالنسبة لـ n = k + 1.

مثال:

برهن أنّ 2n > n + 1 لجميع الأعداد الصحيحة n > 0.

الحالة الابتدائية:

عندما n = 1، فإنّ 2n = 2 > 1 + 1 = 2، وبناءً عليه فإنّ 2n > n + 1 صحيحة عندما n = 1.

الخطوة الاستقرائية:

لنفترض أنّ 2k > k + 1 صحيحة، حيث k هو عدد صحيح أكبر من 0. نريد إثبات أنّ 2(k + 1) > (k + 1) + 1.

من الخطوة الاستقرائية، فإنّ 2k > k + 1، أي أنّ 2k - k > 1. إضافة 1 إلى كلا طرفي هذه المتباينة يعطينا 2k - k + 1 > 2.

إعادة ترتيب هذه المتباينة يعطينا 2(k + 1) > k + 1 + 1، وبناءً عليه فإنّ 2(k + 1) > (k + 1) + 1 صحيحة.

الاستنتاج:

بناءً على الخطوة الابتدائية والخطوة الاستقرائية، فإنّ 2n > n + 1 صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة n > 0.

مثال آخر:

برهن أنّ مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n هو n(n + 1)/2 لجميع الأعداد الصحيحة n > 0.

الحالة الابتدائية:

عندما n = 1، فإنّ مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n هو 1(1 + 1)/2 = 1/2.

الخطوة الاستقرائية:

لنفترض أنّ مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى k هو k(k + 1)/2، حيث k هو عدد صحيح أكبر من 0. نريد إثبات أنّ مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى k + 1 هو (k + 1)(k + 2)/2.

من الخطوة الاستقرائية، فإنّ مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى k هو k(k + 1)/2. إضافة k + 1 إلى كلا طرفي هذه المتباينة يعطينا k(k + 1) + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2.

إعادة ترتيب هذه المتباينة يعطينا (k + 1)(k + 2)/2 = (k + 1)(k + 1)/2 + k + 1.

وبالتالي فإنّ مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى k + 1 هو (k + 1)(k + 2)/2.

الاستنتاج:

بناءً على الخطوة الابتدائية والخطوة الاستقرائية، فإنّ مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n هو n(n + 1)/2 لجميع الأعداد الصحيحة n > 0.

ملحوظة:

مبدأ الاستقراء الرياضي هو أداة قوية يمكن استخدامها لبرهنة مجموعة متنوعة من القضايا الرياضية. ومع ذلك، من المهم ملاحظة أنّ هذا البرهان لا يكون صحيحًا إلا إذا كانت الخطوة الاستقرائية صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة k أكبر من n0.