كيفية حساب دالة التوزيع التراكمي

كيفية حساب دالة التوزيع التراكمي (CDF):

تعتمد طريقة حساب دالة التوزيع التراكمي (CDF) على نوع المتغير العشوائي:

1. المتغيرات العشوائية المنفصلة:

للمتغيرات العشوائية المنفصلة، تُحسب دالة التوزيع التراكمي (CDF) بجمع احتمالات جميع القيم الأصغر أو المتساوية مع القيمة المُعطاة.

مثال:

لدينا متغير عشوائي منفصل يُمثل عدد الوجوه التي تظهر عند رمي قطعة نقدية.

احتمال ظهور وجه واحد هو 1/2.

احتمال ظهور وجهين هو 0.

دالة التوزيع التراكمي (CDF) لقيمة 1 هي 1/2 (احتمال ظهور وجه واحد).

دالة التوزيع التراكمي (CDF) لقيمة 2 هي 1/2 + 0 = 1/2 (احتمال ظهور وجه واحد أو وجهين).

2. المتغيرات العشوائية المتصلة:

للمتغيرات العشوائية المتصلة، تُحسب دالة التوزيع التراكمي (CDF) باستخدام تكامل دالة كثافة الاحتمال (PDF).

مثال:

لدينا متغير عشوائي متصل يُمثل توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 0 وانحراف معياري 1.

دالة كثافة الاحتمال (PDF) لهذا التوزيع هي f(x) = (1 / (sqrt(2*pi))) * exp(-(x^2) / 2).

دالة التوزيع التراكمي (CDF) لهذا التوزيع هي F(x) = Phi(x) = (1 / 2) * (1 + erf(x / sqrt(2))).

حيث erf(x) هي دالة الخطأ المعياري.

ملاحظات:

يمكن حساب دالة التوزيع التراكمي (CDF) باستخدام برامج إحصائية مثل R أو Python.

يمكن أيضًا استخدام جداول دالة التوزيع التراكمي (CDF) المُعدّة مسبقًا لحساب القيم لبعض التوزيعات الشائعة.

أمثلة على برامج لحساب دالة التوزيع التراكمي (CDF):

R:

مقتطف الرمز

pnorm(x) # CDF for normal distribution

 Python:

Python

from scipy import stats

stats.norm.cdf(x) # CDF for normal distribution