الدوال المثلثية ومعكوساتها

 الدوال المثلثية ومعكوساتها:

1. الدوال المثلثية:

تعريف: هي مجموعة من الدوال التي تربط بين زوايا المثلث القائم الزاوية ونسب أضلاعه.

الدوال الأساسية:

الجيب (sin): يُعرف بأنه ناتج قسمة الضلع المقابل للزاوية على الوتر.

جيب التمام (cos): يُعرف بأنه ناتج قسمة الضلع المجاور للزاوية على الوتر.

الظل (tan): يُعرف بأنه ناتج قسمة الضلع المقابل للزاوية على الضلع المجاور لها.

الدوال الأخرى:

قاطع الجيب (csc): هو معكوس جيب الزاوية (1/sin(θ)).

قاطع التمام (sec): هو معكوس جيب التمام للزاوية (1/cos(θ)).

ظل التمام (cot): هو معكوس ظل الزاوية (1/tan(θ)).

2. خصائص الدوال المثلثية:

الدورية: تمتلك الدوال المثلثية دورة 2π، أي أن قيمتها تتكرر كل 2π راديان (أو 360 درجة).

التقابلية:

جيب الزاوية يساوي جيب (π - θ).

جيب التمام للزاوية يساوي جيب التمام (π - θ).

ظل الزاوية يساوي ظل (-θ).

نطاق المدى:

الجيب: [-1، 1].

جيب التمام: [-1، 1].

الظل: (-∞، ∞).

3. معكوسات الدوال المثلثية:

تعريف: هي الدوال التي تعكس الدوال المثلثية الأساسية.

المعكوسات:

قوس الجيب (arcsin): تُستخدم لإيجاد الزاوية التي يكون جيبها قيمة معينة.

قوس جيب التمام (arccos): تُستخدم لإيجاد الزاوية التي يكون جيب تمامها قيمة معينة.

قوس الظل (arctan): تُستخدم لإيجاد الزاوية التي يكون ظلّها قيمة معينة.

خصائص معكوسات الدوال المثلثية:

الدورية: تمتلك معكوسات الدوال المثلثية دورة محدودة.

التقابلية:

arcsin(x) = π/2 - arccos(x).

arctan(-x) = -arctan(x).

نطاق المدى:

قوس الجيب: [-π/2، π/2].

قوس جيب التمام: [0، π].

قوس الظل: (-π/2، π/2).

4. تطبيقات الدوال المثلثية ومعكوساتها:

الهندسة: حساب أطوال وزوايا المثلثات والمضلعات.

الملاحة: تحديد الموقع والاتجاه.

الفيزياء: حساب الحركة والتذبذبات.

الفلك: دراسة حركة النجوم والكواكب.

الموسيقى: توليد النغمات والأصوات.

الرسومات: إنشاء رسومات وتصميمات ثلاثية الأبعاد.