قوانين التكامل الأساسية:
تُشكل قوانين التكامل الأساسية حجر الأساس لحساب التكاملات المُحددة وغير المُحددة.
1. قاعدة الجمع:
تنص هذه القاعدة على أن تكامل مجموع دالتين يساوي مجموع تكاملهما.
∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
2. قاعدة الثابت:
تنص هذه القاعدة على أن تكامل ثابت مضروبًا في دالة يساوي الثابت مضروبًا في تكامل الدالة.
∫k * f(x) dx = k * ∫f(x) dx
3. قاعدة القوة:
تنص هذه القاعدة على أن تكامل دالة من الدرجة n (حيث n ≠ -1) يساوي الدالة من الدرجة n+1 مقسومة على n+1، بالإضافة إلى ثابت التكامل.
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
4. قاعدة الأس:
تنص هذه القاعدة على أن تكامل دالة أسية (حيث a ثابت حقيقي موجب ≠ 1) يساوي الدالة الأسية مقسومة على الأس، بالإضافة إلى ثابت التكامل.
∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C
5. قاعدة اللوغاريتم:
تنص هذه القاعدة على أن تكامل دالة لوغاريتمية (حيث a ثابت حقيقي موجب ≠ 1) يساوي x * ln(a) + C.
∫ln(a^x) dx = x * ln(a) + C
6. قاعدة التكامل بالتعويض:
تُستخدم هذه القاعدة لحساب تكامل دالة مركبة من خلال استبدال المتغير.
∫u'(v(x)) * v'(x) dx = ∫u(v(x)) dv
7. قاعدة تكامل الأجزاء:
تُستخدم هذه القاعدة لحساب تكامل حاصل ضرب دالتين.
∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x) dx
8. تكاملات الدوال المثلثية:
توجد قواعد محددة لتكامل الدوال المثلثية الشائعة، مثل الجيب والتمام وجيب التمام والظل.
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫tan(x) dx = ln|sec(x)| + C
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
∫csc(x) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C
∫cot(x) dx = -ln|sin(x)| + C
ملاحظة:
C هي ثابت التكامل، وهي قيمة ثابتة تُضاف إلى نتيجة التكامل.
يجب التحقق من صحة الشروط الخاصة بكل قاعدة قبل تطبيقها.
تعليقات
إرسال تعليق